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Kurzbeschreibung

In diesem Teilprojekt soll ein neuer Ansatz zur Betrachtung von Transportproblemen in Netzwerken untersucht werden, indem geeignete Wasserstein-artige Metriken konstruiert werden. Durch Definition geeigneter Dissipationsfunktionale in den Knoten und Kanten des Netzwerks kann eine metrische Struktur (ggf. Riemann'sch) konstruiert werden und verschiedene Transport-Diffusions-Gleichungen mit Kopplungsbedingungen in den Knoten als Gradientenflüsse formuliert werden. Dabei werden sowohl instantane Aufteilung des Flusses in den Knoten als auch eine mögliche (teilweise) Speicherung als unterschiedliche Fälle betrachtet.

Basierend auf Gradientenfluss-Formulierungen soll einerseits die Analysis der Gleichungen auf Netzwerken vorangetrieben werden, aber auch die Diskretisierung und numerische Lösung. Insbesondere erwarten wir wichtige Resultate zur strukturerhaltenden Reduzierung von Modellen (durch Parametergrenzwerte) und zur strukturerhaltenden numerischen Lösung von Transport-Diffusionsproblemen auf Netzwerken. Dazu soll als Skalierungsgrenzwert (quasi-stationäre Situationen in den Kanten) auch ein Zusammenhang mit algebraischen oder gewöhnlichen Differentialgleichungen in verschiedenen Fällen besser verstanden werden. Ein Ziel ist es Fehlerabschätzungen in den entsprechenden Metriken hergeleitet werden, die eine Validierung entsprechender Modellreduktion erlauben. 

In einem weiteren Schritt soll die Anwendung der Wasserstein-artigen Metriken auf komplexere Gleichungssysteme auf Netzwerken untersucht werden, die keine Gradientenfluss-Struktur aufweisen. Dies gilt insbesondere für  kompressible Euler-Gleichungen mit Dämpfungstermen, die bei der Modellierung von Gasnetzwerken von zentraler Bedeutung sind. Der relativ einfache Zusammenhang zwischen Wasserstein-Metriken und Lagrange'schen Formulierungen in einer Dimension soll dabei zur Vereinfachung der Analysis einerseits, aber auch zur strukturierten Konstruktion und Untersuchung Lagrange'scher numerischer Methoden beitragen.

In einem dritten Schritt wird dann noch die mögliche Anwendung auf Optimierungsprobleme in Netzwerkmodellen untersucht. Ziel dabei ist es vor allem die Optimalitätsbedigungen für die Zustandsvariable und der Nebenbedingung, d.h. die  partielle  Differentialgleichung, in Wasserstein-artigen Räumen auf Netzwerken herzuleiten. Dies gibt eine neue Darstellung der adjungierten Variable und erlaubt wiederum neue Formulierungen für die numerische Optimierung.

Die Entwicklung der mathematischen Methoden in diesem Projekt ist vorwiegend getrieben durch die Anwendungssituation in Gas-Netzwerken, jedoch erlaubt der allgemeine mathematische Ansatz auch eine Anwendung auf andere ähnliche Probleme, wie etwa neuronale und biologische Transportnetzwerke oder auch Transportprobleme in mehreren Dimensionen mit nichthomogenen Rand- oder übergangsbedingungen.