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des SFB TRR 154 in Phase 2 (2018 - 2022)
Ansprechpartner:
Dennis Gabriel
Prof. Dr. Marc Pfetsch
Prof. Dr. Stefan Ulbrich
Dieses Teilprojekt verfolgt das Ziel Methoden zur globalen Lösung von Optimierungsprobleme mit ODE- bzw. PDE-Nebenbedingungen und ganzzahligen Entscheidungen zu entwickeln. Einerseits soll dies für instationäre Gasflüsse und anderseits für Topologieplanungsprobleme geschehen. Wesentlich ist in beiden Fällen die Entwicklung von guten Unter- und Oberschranken für die Lösungen sowie eine darauf abgestimmte Behandlung der ganzzahligen Entscheidungen.
Paloma Schäfer Aguilar
Ziel des Teilprojekts ist die Analysis und die konvergente numerische Diskretisierung von zustandsbeschränkten Optimierungsproblemen für Entropielösungen instationärer hyperbolischer PDE-Modelle von Gasnetzwerken. Hierbei soll die Konvergenz numerischer Approximationen sowie der zugehörigen Sensitivitäten und Adjungierten von Optimalsteuerungsproblemen für Netzwerke von Systemen hyperbolischer Bilanzgleichungen mit kontinuierlichen und schaltenden Steuerungen untersucht werden. Zudem soll das in der ersten Phase entwickelte Sensitivitäts- und Adjungierten-Kalkül auf allgemeinere BV-Lösungen in Netzwerken erweitert werden.
Yan Brodskyi
Prof. Dr. Falk Hante
Das Projektziel ist die Entwicklung von Steuerungstheorie für gemischt ganzzahlig-kontinuierliche (hybride) dynamische Systeme mit partiellen Differentialgleichungen. Ausgehend von Regularitäts- und Sensitivitätsergebnissen aus der ersten Phase werden Receding-Horizon-Methoden entwickelt und untersucht, die auf Optimalitätsprinzipien basierend gemischt-ganzzahlige Entscheidungen zur Steuerung solcher Systeme auch unter Unsicherheiten beispielsweise zur Ventilsteuerung für Gasnetzwerke im nichtstationären Betrieb ermöglichen.
Richard Krug
Prof. Dr. Günter Leugering
Prof. Dr. Alexander Martin
Prof. Dr. Martin Schmidt
Wie in der ersten Phase betrachten wir die semilineare Variante der Eulergleichungen. Durch die in der ersten Phase erreichten Resultate sind wir in der Lage, Instantansteuerungen auf Netzen moderater Größe für zeitabhängige Probleme auf Basis dieses Modells zu berechnen. Hierzu wurde ein gemischt implizit-expliziter Euler-Ansatz zur Zeitdiskretisierung verfolgt. Diese Strategie ermöglicht es, den Reibungsterm als quadratischen Term im Fluss aufzufassen und ihn als monotone Störung zu behandeln. Die in der ersten Phase in AP 1 vervollständigte Analyse wurde in AP 2 durch eine Ortsbereichszerlegung erweitert, in der das vollständige Problem auf dem Gesamtgraphen iterativ in analoge Probleme auf Teilgraphen dekomponiert wurde. Daher ist es nun möglich, das zeitabhängige Gesamtproblem auf Probleme herunterzubrechen, die Teilgraphen geeigneter Größe mit Ventilen und Kompressoren beinhalten, wobei aufgrund der Formulierung als Instantansteuerungsproblem jeweils nur über einen Zeitschritt optimiert werden muss. Die Zerlegung im Ort erlaubt eine vollständige Parallelisierung der Optimalsteuerungsprobleme derart, dass das in der aktuellen Iteration betrachtete Problem auf einem gegebenen Teilgraphen über die verbindenden Kanten mit allen adjazenten Teilgraphen (aus der letzten Iteration) aufdatiert wird. Die lokalen Optimalitätssysteme entsprechen dann in diesem Fall den lokalen Optimalsteuerungsproblemen. Das Ziel der zweite Phase ist es, diese Ortsbereichszerlegung mit einer iterativen Zeitbereichszerlegung zu verzahnen. Dazu soll das Problem sowohl auf dem gesamten Graphen in Teilgraphen, als auch auf dem gesamten Zeithorizont in kontinuierliche Zeitintervalle zerlegt werden. Auf diese Weise entstehen semilineare Probleme auf Teilgraphen und Zeithorizonten, die nach vollständiger Zeit- und Ortsdiskretisierung (auf Basis von AP 3 der Phase 1) auf große und block-strukturierte MINLPs führen. Die Größe der Teilgraphen und der kontinuierlichen Zeithorizonte soll dabei so gesteuert werden, dass die resultierenden endlich-dimensionalen MINLPs in der Praxis global optimal lösbar sind. Die Teilprobleme beinhalten jeweils Ventile, Kompressoren und andere Steuerungselemente, sodass die Kommunikation zwischen den Teilnetzen ausschließlich über Transmissionsknoten erfolgt. Das Prinzip der raum-zeitlichen Zerlegung wurde bereits für hyperbolische Gleichungen und Systeme in der Literatur beschrieben. Diese Literatur beinhaltet a posteriori Abschätzungen, die es gestatten, die Zerlegung adaptiv zu gestalten. Das in AP 1 zu entwickelnde Verfahren für die Zeitbereichszerlegung kann dabei auf verschiedene Weise realisiert werden. Es besteht die Absicht, die zeitliche Zerlegung in kontinuierliche Teilintervalle mit einer iterativen Zeitbereichszerlegung zu realisieren und diese mit einer nichtüberlappenden Gebietszerlegung des Graphen in Teilgraphen zu kombinieren. Als Ergebnis dieser Bereichszerlegungen in Ort und Zeit bleiben dann zeitabhängige Optimalsteuerungsprobleme auf kleineren Ort-Zeit-Würfeln zu lösen. Hierfür wollen wir dem discretize-then-optimize-Paradigma folgen und eine vollständige Orts- und Zeitdiskretisierung der Bereiche durchführen. Die resultierenden endlich-dimensionalen MINLPs selbst sind Gegenstand des zweiten und dritten Arbeitspakets. Die zugrunde liegenden Nebenbedingungen sind von block-strukturierter Diagonalform mit zusätzlichen Zeilen zur Kopplung der Zeitschritte. Mit dieser Form gibt es sowohl zahlreiche Erfahrungen im linearen Kontext als auch Vorarbeiten im Kontext stationärer Gasnetzoptimierung. Beides soll für die Erforschung des nichtlinearen und instationären Falles eingebracht werden. Im zweiten Arbeitspaket wird für den vollständig diskretisierten und damit endlich-dimensionalen Fall untersucht, wie sowohl die zeitliche Struktur als auch die Struktur der Steuerungen algorithmisch im Rahmen von dekompositionsbasierten Penalty-Verfahren ausgenutzt werden können. Dieselben diskretisierten MINLPs sollen im dritten Arbeitspaket mit den Erfahrungen aus der ersten Phase zunächst durch MIP-Relaxierungen ersetzt werden. Anschließend soll untersucht werden, ob das MIP eines Zeitschrittes auf den nachfolgenden Zeitschritt projiziert werden kann. Sollte das gelingen, kann ein in der Zeit iteratives Verfahren aufgesetzt werden. Dies würde es im idealen Fall erlauben, das sehr hoch-dimensionale zu lösende Gesamt-MIP auf die sequentielle Lösung von MIPs der Größenordnung jeweils eines Zeitschrittes zu reduzieren.
Prof. Dr. Max Klimm
Rico Raber
Prof. Dr. Martin Skutella
Das Teilprojekt untersucht effiziente Netzwerkflussmethoden zur Optimierung der Kapazitätsauslastung in Gasnetzen. Aufbauend auf strukturellen Einsichten und Algorithmen zur Berechnung instationärer Flüsse in zeit-expandierten Netzen werden (Approximations-)Algorithmen zur robusten und Online-Optimierung von Gasnetzen sowie Mechanismen zur Vergabe der Kapazitäten über Auktionen entwickelt.
Dr. Pia Domschke
Prof. Dr. Jens Lang
Elisa Strauch
Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung eines durchgängigen, dynamischen Multiskalenansatzes für die numerische Lösung der kompressiblen, instationären Euler-Gleichungen auf Netzwerkstrukturen. Diese Methoden sollen bei der Beschreibung des stochastischen Verhaltens von praktisch relevanten Ausgabegrößen bezüglich randomisierten Parametern in hyperbolischen Differentialgleichungen (Quantifizierung von Unsicherheiten), der Konstruktion von reduzierten Modellen und bei einer adaptiven Multilevel-Optimierung für Gasnetzwerke verwendet werden. In der ersten Projektphase standen Modellierungsaspekte und die Entwicklung von adaptiven Diskretisierungen im Vordergrund. Dabei werden adaptive räumliche und zeitliche Diskretisierungen mit Modellen einer neu entwickelten Modellhierarchie kontrolliert und miteinander verknüpft, um eine effiziente Simulation des Gasnetzwerkes über den gesamten Zeithorizont bezüglich einer vorgegebenen Genauigkeit zu ermöglichen. In der zweiten Projektphase wird der Einfluss von dynamischen Marktfluktuationen, die durch randomisierte Anfangs- und Randbedingungen beschrieben werden können, auf Zielfunktionen und Spielräume bei der optimalen Steuerung von Gasnetzwerken im Rahmen einer Quantifizierung von Unsicherheiten untersucht. Dafür sollen adaptive stochastische Kollokationsmethoden mit multilevel-artigen Verfahren zur Varianz-Reduzierung verwendet werden. Der durchgängige Einsatz von Multilevel-Methoden in Ort-Zeit-Modell und stochastischen Komponenten führt unter Ausnutzung von Auflösungshierarchien in den jeweiligen Approximationen (Raum, Zeit, Modell, Stochastik) zu einer Reduktion der Rechenzeiten. Die stochastische Kollokation wird mit anisotropen, dünnen Smolyak-Gittern realisiert. Die damit verbundene natürliche Sampling-Strategie erlaubt den Einsatz von reduzierten, struktur-erhaltenden Modellen, um den Rechenaufwand auch perspektivisch für sehr große Netzwerke weiter zu reduzieren. Es ist das Ziel, adaptive Gitter- und Modellverfeinerungen mit adaptiven stochastischen Kollokationsmethoden zu verknüpfen, um die Multilevel-Methoden zu verbessern und rigorose Qualitätsvorgaben an Erwartungswerte und Varianzen von Lösungsfunktionalen für die Quantifizierung von Unsicherheiten mit reduziertem Rechenaufwand zu erreichen.
Prof. Dr. Michael Hintermüller
Dr. Olivier Huber
Ziel ist die mathematische Beschreibung von Märkten, die mit physikalischen Prozessen gekoppelt sind, um ökonomische Fragestellungen wie nach dem Verhalten der Marktteilnehmer oder nach optimaler Transportnetz-Auslastung beantworten zu können. Dabei stehen die Analyse von verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblemen unter Einbezug der physikalischen Prozesse sowie Zustands- und Steuerungsrestriktionen, deren effiziente numerische Behandlung sowie die Betrachtung risikoaverser Agenten unter Unsicherheiten verschiedener Eingabegrößen im Vordergrund.
Prof. Dr. Volker Mehrmann
Riccardo Morandin
Ziel des Projekts ist die Entwicklung einer neuen Methodik zur netzwerkartigen Verkopplung von mathematischen Modellen, die mit unterschiedlicher Modellgüte vorliegen und auf unterschiedlichen Skalen agieren. Dazu soll ein systemtheoretischer Zugang über eine Modellierung als port-Hamiltonisches (pH) System von differentiell-algebraischen Gleichungen realisiert werden. Ein zweiter Schwerpunkt ist die datenbasierte Erstellung von pH Surrogatmodellen, z.B. für Kompressorstationen, die als Ersatzmodule in die Modellhierarchie eingebaut werden können, sowie die strukturierte Einbeziehung von schaltenden Modellkomponenten (wie Ventilen). Ein dritter Schwerpunkt ist die Entwicklung von Methoden zur strukturerhaltenden Modellreduktion der einzelnen Komponenten und des Gesamtnetzwerks, inklusive einer entsprechenden Fehlerabschätzung.
Dr. Holger Heitsch
PD Dr. René Henrion
Das Teilprojekt widmet sich der Berücksichtigung von Unsicherheiten, vornehmlich Verbraucherlasten, in Gastransportproblemen mittels Wahrscheinlichkeitsrestriktionen. Diese ermöglichen die Findung optimaler und zugleich im Sinne der Wahrscheinlichkeit robuster Entscheidungen. Das Hauptaugenmerk wird künftig mathematisch auf der Einbettung solcher Restriktionen in Gleichgewichtsproblemen (MPECs) liegen. Hierdurch soll die Modellierung von Gasmarktmodellen um die Bedingung einer robusten Lastdeckung ergänzt werden. Dies erfordert sowohl eine theoretische Strukturanalyse wie auch eine angepasste Algorithmenentwicklung.
Prof. Dr. Rüdiger Schultz
Kai Spürkel
Ziel ist der Ausbau einer in Phase 1 hergeleiteten allgemeinen, prinzipiell numerisch verwertbaren Charakterisierung der Validität von Nominierungen für immer stärker vermaschte, zufallsbehaftete Gasnetze. Dabei wird an erste Untersuchungen unter Einbeziehung neuerer Resultate des symbolischen Rechnens (Comprehensive Gröbner Systems) angeknüpft. Darüber hinaus werden Ansätze zur risikoaversen Optimierung in zufallsbehafteten Gasnetzen mit Netzbeschränkungen und unterschiedlichen Marktmodellen z.B. mit Nodalpreissystem oder ohne, entwickelt.
Martina Kuchlbauer
Prof. Dr. Frauke Liers
Prof. Dr. Michael Stingl
Im Zentrum der Arbeiten von B06 stehen die Modellierung robuster Optimierungsprobleme in Gasnetzen, deren theoretische Analyse und die Entwicklung geeigneter Lösungsverfahren. Aufbauend auf Erkenntnissen aus Phase I für den stationären Fall, werden die zweistufig robusten Optimierungsprobleme für unsichere Bedarfe als auch für unsichere physikalische Parameter mittels eines Dekompositionsansatzes behandelt. Über diesen Ansatz werden Erweiterungen bezüglich Instationarität und gekoppelt robust-stochastischer Optimierungsprobleme möglich, die in der zweiten Phase verstärkt in den Blick genommen werden sollen. Marktaspekte werden über die Wohlfahrtsoptimierung im Nodalpreissystem mit einbezogen.
Lukas Hümbs
In diesem Teilprojekt werden Techniken entwickelt, um Gleichgewichtsprobleme mit Ganzzahligkeitsrestriktionen mit MIP-Techniken zu lösen. Hierzu werden zunächst gemischt-ganzzahlig lineare, später gemischt-ganzzahlig nichtlineare Optimierungsprobleme als Teilprobleme betrachtet. Zur Lösung dieser Probleme werden sowohl vollständige Beschreibungen wie auch verallgemeinerte KKT-Sätze für gemischt-ganzzahlig nichtlineare Optimierungsprobleme studiert.
Prof. Dr. Veronika Grimm
Thomas Kleinert
Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung mathematischer Methoden zur Lösung mehrstufiger, gemischt-ganzzahliger und nichtlinearer Optimierungsmodelle für Gasmärkte. Hierbei steht ein genuin vierstufiges Modell des Entry-Exit-Systems im Vordergrund, das als Bilevel-Problem reformuliert werden kann. Die mathematischen und algorithmischen Entwicklungen werden dann genutzt, um Marktlösungen im Entry-Exit-System zu charakterisieren und mit Systemoptima zu vergleichen. Besonderes Augenmerk gilt dabei optimalen Buchungspreisen für Entry- oder Exit-Kapazität.
Prof. Dr. Alexandra Schwartz
Ann-Kathrin Wiertz
Prof. Dr. Gregor Zöttl
Ziel dieses Teilprojekts ist die Entwicklung von Methoden zur Untersuchung strategischer Interaktion bei Angebotsentscheidungen in Gasmärkten mithilfe mehrstufiger Optimierungsmodelle. Als Ausgangspunkt dient ein Modell des Entry-Exit-Systems in Gasmärkten mit einer Fokussierung auf strategische Buchungs- und Nominierungsentscheidungen von Gasanbietern. Die resultierende zweistufige strategische Interaktion kann als Gleichgewichtsproblem mit Gleichgewichtsrestriktionen (EPEC) formuliert werden. In diesem Marktspiel wählt jeder Marktteilnehmer seine Strategie unter Berücksichtigung der von den anderen Anbietern zeitgleich getroffenen Entscheidungen und unter Berücksichtigung von zeitlich nachgelagerten Entscheidungen. Das zu betrachtende EPEC beschreibt also ein Spiel, bei dem jeder einzelne Spieler ein zweistufiges Optimierungsproblem, genauer ein mathematisches Programm mit Gleichgewichtsrestriktionen (MPEC) lösen muss. Unter Ausnutzung der spezifischen Struktur des resultierenden EPECs sollen passgenaue Algorithmen zur Berechnung der Marktgleichgewichte entwickelt und Rahmenbedingungen identifiziert werden, welche die Existenz und Eindeutigkeit des Marktgleichgewichts sicherstellen. Die theoretischen und algorithmischen Ergebnisse werden schließlich genutzt, um die Auswirkung strategischer Interaktion auf Buchungspreise und Marktergebnisse abzuschätzen und die Abhängigkeit der Lösungen von Marktstruktur und Marktdesign zu untersuchen.
Tom Streubel
Prof. Dr. Andrea Walther
Ziel des Projekts ist die Entwicklung eines neuen Algorithmus zur Lösung von beschränkte, stückweise glatte Optimierungsproblemen mit Ganzzahligkeitsbedingungen voranzutreiben. Dazu muss zunächst der Ansatz für die unbeschränkte, nichtglatte Optimierung theoretisch fundiert um die Behandlung von linearen Nebenbedingungen ergänzt werden. Dies erfordert eine umfangreiche Modifikation des Algorithmus zur Lösung der durch die abs-Linearisierung entstandenen Unterprobleme und damit verbunden die Analyse der resultierenden Konvergenzeigenschaften. Danach ist zur angepassten Berücksichtigung von nichtglatten Nebenbedingungen eine Penalty-Strategie für Komplementaritätsbedingungen zu untersuchen, wobei die auftretende Nichtglattheit bei der numerischen Lösung explizit auszunutzen ist. Drittens sollen erste Ansätze zur Behandlung von Ganzzahligkeiten erarbeitet werden. Die in diesem Projekt vorgesehene Forschung zu Optimierungsverfahren, welche auf der abs-Linearisierung aufbauen, ist durch Anwendungen sowohl im Bereich des Gasmarkts als auch durch Fragestellungen des Gastransports motiviert.
Henning Sauter
Prof. Dr. Caren Tischendorf
Ziel des Teilprojektes ist die Kombination von Simulation und Optimierung, vor allem hinsichtlich der Steuerung transienter Verdichter, der Einhaltung von Druck- und Flussschranken sowie der Überwindung von Simulationshürden, die durch das Öffnen und Schließen von Ventilen entstehen. Methodisch verfolgen wir dazu einen Ansatz der Form 1. discretize in space 2. optimize 3. discretize in time. Der Fokus liegt dabei auf neuen Ansätzen zur Zeitdiskretsierung der resultierenden DAE mittels eines least-square-Kollokationsverfahrens, das regularisierend wirkt und robust hinsichtlich schaltender Strukturen ist.
Prof. Dr. Martin Gugat
Michael Schuster
Turnpike Ergebnisse stellen Zusammenhänge zwischen den Lösungen von transienten und den zugehörigen stationären Optimalsteuerungsproblemen her, wie sie oft bei der Modellierung der Gasnetzsteuerung verwendet werden. Auf diese Weise liefern sie die Grundlage für die Approximation transienter Optimalsteuerungen durch die Lösungen einfacher strukturierter stationärer Optimierungsprobleme. Turnpiketheorie lässt sich auch als Strukturuntersuchung für die transienten Optimalsteuerungen auffassen, die sich im besten Fall exponentiell schnell den stationären Steuerungen annähern.
Prof. Dr. Herbert Egger
Nora Philippi
Hauptziel des Teilprojektes ist die systematische numerische Approximation von Systemen partieller Differentialgleichungen auf Netzwerken, die etwa zur Beschreibung des Gastransportes verwendet werden. Dazu sollen neuartige Galerkinverfahren vorgeschlagen und untersucht werden, die aufgrund ihres variationellen Charakters eine effiziente Behandlung von übergeordneten Problemen, wie die Kalibrierung und optimale Steuerung von Gasnetzwerken, ermöglichen.
Prof. Dr. Jan Giesselmann
Teresa Kunkel
In diesem Projekt sollen Datenassimilationstechniken für Modelle von Strömungen in Gasnetzen entwickelt werden. Dabei werden Messwerte in laufende Simulationen eingespeist, um ihre Genauigkeit und Zuverlässigkeit zu erhöhen. Dazu werden die originalen Modellgleichungen um Steuerungsterme in den Röhren oder an den Knoten erweitert, die die Lösung in Richtung der Messdaten verschieben. Das so entstehende System wird als Beobachter bezeichnet. Hier soll untersucht werden, wie viele Messdaten nötig sind, um Konvergenz des Beobachters gegen die exakte Lösung des Originalproblems garantieren zu können, wie schnell dieses Konvergenz ist und wie sich Fehler in den Messdaten auf die Qualität der Lösung auswirken.
Prof. Dr. Martin Burger
Dr. Antonio Esposito
In diesem Teilprojekt soll ein neuer Ansatz zur Betrachtung von Transportproblemen in Netzwerken untersucht werden, indem geeignete Wasserstein-artige Metriken konstruiert werden. Durch Definition geeigneter Dissipationsfunktionale in den Knoten und Kanten des Netzwerks kann eine metrische Struktur (ggf. Riemann'sch) konstruiert werden und verschiedene Transport-Diffusions-Gleichungen mit Kopplungsbedingungen in den Knoten als Gradientenflüsse formuliert werden. Dabei werden sowohl instantane Aufteilung des Flusses in den Knoten als auch eine mögliche (teilweise) Speicherung als unterschiedliche Fälle betrachtet. Basierend auf Gradientenfluss-Formulierungen soll einerseits die Analysis der Gleichungen auf Netzwerken vorangetrieben werden, aber auch die Diskretisierung und numerische Lösung. Insbesondere erwarten wir wichtige Resultate zur strukturerhaltenden Reduzierung von Modellen (durch Parametergrenzwerte) und zur strukturerhaltenden numerischen Lösung von Transport-Diffusionsproblemen auf Netzwerken. Dazu soll als Skalierungsgrenzwert (quasi-stationäre Situationen in den Kanten) auch ein Zusammenhang mit algebraischen oder gewöhnlichen Differentialgleichungen in verschiedenen Fällen besser verstanden werden. Ein Ziel ist es Fehlerabschätzungen in den entsprechenden Metriken hergeleitet werden, die eine Validierung entsprechender Modellreduktion erlauben. In einem weiteren Schritt soll die Anwendung der Wasserstein-artigen Metriken auf komplexere Gleichungssysteme auf Netzwerken untersucht werden, die keine Gradientenfluss-Struktur aufweisen. Dies gilt insbesondere für kompressible Euler-Gleichungen mit Dämpfungstermen, die bei der Modellierung von Gasnetzwerken von zentraler Bedeutung sind. Der relativ einfache Zusammenhang zwischen Wasserstein-Metriken und Lagrange'schen Formulierungen in einer Dimension soll dabei zur Vereinfachung der Analysis einerseits, aber auch zur strukturierten Konstruktion und Untersuchung Lagrange'scher numerischer Methoden beitragen. In einem dritten Schritt wird dann noch die mögliche Anwendung auf Optimierungsprobleme in Netzwerkmodellen untersucht. Ziel dabei ist es vor allem die Optimalitätsbedigungen für die Zustandsvariable und der Nebenbedingung, d.h. die partielle Differentialgleichung, in Wasserstein-artigen Räumen auf Netzwerken herzuleiten. Dies gibt eine neue Darstellung der adjungierten Variable und erlaubt wiederum neue Formulierungen für die numerische Optimierung. Die Entwicklung der mathematischen Methoden in diesem Projekt ist vorwiegend getrieben durch die Anwendungssituation in Gas-Netzwerken, jedoch erlaubt der allgemeine mathematische Ansatz auch eine Anwendung auf andere ähnliche Probleme, wie etwa neuronale und biologische Transportnetzwerke oder auch Transportprobleme in mehreren Dimensionen mit nichthomogenen Rand- oder übergangsbedingungen.
Das Integrierte Graduiertenkolleg bietet seinen Mitgliedern eine einzigartige wissenschaftliche Ausbildung in den Themenbereichen des TRR 154 „Mathematische Modellierung, Simulation und Optimierung am Beispiel von Gasnetzwerken“. Darüber hinaus werden sie mit den für einen erfolgreichen Berufsweg im industriellen und akademischen Bereich notwendigen Schlüsselqualifikationen ausgestattet. Hierdurch werden sowohl die Karrierechancen der Mitglieder als auch die Attraktivität des TRR 154 für exzellente nationale und internationale Bewerberinnen und Bewerber nachhaltig erhöht. Bei den Mitgliedern des Graduiertenkollegs handelt es sich um die Doktorandinnen und Doktoranden der Ergänzungs- und Grundausstattung, die ihr Forschungsvorhaben innerhalb oder assoziiert zu den TRR 154-Projekten verfolgen, sowie um durch Kurzzeitstipendien (6–12 Monate) gewonnene Kandidatinnen und Kandidaten. Außerdem ist es offen für die Aufnahme von Postdoktorandinnen und -doktoranden verwandter Forschungsfelder. Der fachwissenschaftliche Teil des Studienprogrammes wird durch die wissenschaftlichen Inhalte des TRR 154 festgelegt und umfasst unter anderem halbjährlich stattfindende transregionale Sommer- und Winterschulen, regelmäßige Vorträge und Blockkurse von eingeladenen Gastwissenschaftlerinnen und -wissenschaftlern sowie eigens auf die thematischen Schwerpunkte des TRR 154 zugeschnittene standortangepasste Vorlesungsreihen. Die wissenschaftliche Eigenständigkeit der Promovierenden wird durch Netzwerkbildung, wie etwa gemeinsame Veranstaltungen mit anderen Graduiertengruppen, Besuche internationaler Konferenzen, Auslandsaufenthalte und Exkursionen gefördert. Den Promovierenden wird über einen Nachwuchsring, dem Vertreter der verschiedenen Standorte angehören, die inhaltliche Ausgestaltung und Organisation eines Teils der Aktivitäten übertragen, zum Beispiel Fachkolloquien, unter anderem mit anderen Forschungsverbünden. Ergänzende Ausbildungsangebote zur Schulung fachübergreifender Kompetenzen sind durch die Nachwuchsprogramme der Graduiertenschulen der jeweiligen Standorte gewährleistet. Zur Sicherstellung einer gezielten, umfassenden Betreuung der Promovierenden, die eine Forschungsprofilbildung und einen Abschluss des Dissertationsvorhabens in einem definierten, begrenzten Zeitraum ermöglicht, erhalten alle Mitglieder des Graduiertenkollegs eine Doppelbetreuung durch zwei im TRR 154 vertretene Projektleiterinnen oder -leiter (Mentoren). Betreuungsstandards in Form einer Promotionsvereinbarung strukturieren dabei den Arbeitsplan. Die Vereinbarungen, die auf den Standards der Graduiertenschulen der beteiligten Standorte basieren, werden individuell zwischen den betreuenden Personen und den Promovierenden geschlossen. Sie decken auch Elemente der Eigenleistung ab, wie etwa Veröffentlichungen, Vorträge und die Teilnahme an berufsvorbereitenden Kursen. Regelmäßige Zwischenevaluationen messen und dokumentieren die wissenschaftlichen Fortschritte und geben Gelegenheit zur kritischen Diskussion mit den Betreuenden.
Dr. Sam Krupa
Ziel des Projekts ist die Herleitung neuartiger Fehlerschätzer für Approximationen (möglicherweise unstetiger) Entropielösungen hyperbolischer Erhaltungsgleichungen. Diese Untersuchungen sind durch große Fortschritte bei der Stabilitätsanalyse von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen motiviert. In den letzten Jahren ist es der Gruppe um Alexis Vasseur gelungen, neuartige Stabilitästresultate "a-contraction" herzuleiten, die im Gegensatz zu bisher bekannten, ähnlichen Resultaten nicht verlangen, dass die Lösungen kleine Totalvariation haben. Insbesondere beantworten diese Resultate die Frage nach der Stabilität großer Stöße in allgemeinen Systemen hyperbolischer Erhaltungsgleichungen. Die Kombination dieser Stabilitästresultate mit in unserer Gruppe ausgiebig untersuchten Rekonstruktionen numerischer Lösungen hat das Potential a posteriori Fehlerschätzer optimaler Ordnung für numerische Approximationen stetiger und unstetiger Lösungen hyperbolischer Erhaltungsgleichungen zu liefern. Langfristig sollten diese Stabilitätsrsultate nicht nur die Herleitung solcher Fehlerschätzer ermöglichen, sondern auch bei der Herleitung verbesserter Resultate über die stetige Abhängigkeit von Lösungen von den Problemparametern und bei der Untersuchung von Beobachter-basierten Verfahren in der Datenassimilation hilfreich sein. Im Rahmen des Projektes zeigte sich, dass der Ansatz grunsätzlich funktioniert. Während die Behandlung bestehender Stöße wie erwartet gut funktioniert, bedarf die Behandlung der Stoßentstehung einer sehr technischen Analyse. vorläufige Ergebnisse sind in einem Oberwolfach Report verfügbar: https://publications.mfo.de/handle/mfo/3852
Johannes Thürauf
Ziel dieses Projekts ist die Erweiterung eines bestehenden mehrstufigen Marktmodells des europäischen Entry-Exit Gasmarktsystems um die Komponente der Kapazitätserweiterung des Gasnetzes. Hierzu fokussieren wir uns auf ein nichtlineares Modell des Gastransports und passive Baumnetzwerke. Es werden sowohl Modellierungs- als auch Lösungstechniken entwickelt, die Rechnungen auf Netzwerken realer Größenordnung erlauben. Auf Basis dieser Rechenergebnisse wird analysiert, inwiefern ökonomische Ineffizienzen aufgrund des Entry-Exit Marktsystems durch eine spezifische Kapazitätserweiterung des Gasnetzes reduziert werden können.
Prof. Dr. Yann Disser
David Weckbecker
Dieses Projekt dreht sich um die Frage, wie zukünftige Anforderungen erfüllt werden können, obwohl diese noch nicht bekannt sind. Entscheidungen über die Entwicklung neuer Infrastrukturen und den systematischen Netzausbau müssen getroffen werden. Ein solches Setting ergibt sich zum Beispiel beim Aufbau zukünftiger Wasserstoffnetze, wo Bedarfe und Produktionskapazitäten noch sehr ungewiss sind. Wir nähern uns diesen Unsicherheiten aus Sicht der kombinatorischen Online-Optimierung, d.h. wir suchen Algorithmen, die unwiderrufliche Entscheidungen treffen müssen, während die Eingabedaten erst während der Laufzeit des Algorithmus offengelegt werden. Zur Modellierung von Wasserstoffnetzen untersuchen wir potentialbasierte Flüsse in Graphen. Sie modellieren nicht nur Gasflüsse, sondern auch Wasser- und Energieflüsse. Die Frage, die wir uns insbesondere stellen, ist, eine Reihenfolge zu finden, in der Kanten in einen Graphen eingefügt werden, sodass der Fluss zwischen zwei Punkten nach dem Einfügen jeder Kante maximiert wird. Unsere Ergebnisse zeigen, dass unter der Annahme, dass alle Pfade zwischen diesen Punkten parallel verlaufen, die Zielfunktion fraktional subadditiv ist und dass für solche Zielfunktionen der bestmögliche Approximierungsfaktor zwischenmax{2.618, M} und max{3.293√M, 2M} liegt. Hier ist M die maximale Kapazität eines Pfades zwischen den beiden Punkten im Graphen.
Lukas Wolff
Prof. Dr. Enrique Zuazua
Dieses Teilprojekt unter der Leitung von Falk Hante (Humboldt-Universität zu Berlin) und Enrique Zuazua (FAU Erlangen-Nürnberg) untersucht hyperbolische und parabolische Dynamik auf Netzwerken und deren Steuerung mit Random-Batch Methoden. Das Ziel ist die Gesamtdynamik auf Teilnetze im Sinne eines Random-Batches zu beschränken und dafür eine stochastische Gradientenrichtung zu berechnen. Dafür wird eine Konvergenztheorie und Steuerungsmethoden von Gasnetzwerken im Sinne Modellprädiktiver Ansätze entwickelt. Dieser Zugang kann schließlich mit Hilfe von Methoden zur simultanen Steuerung parametrischer Systeme in Bezug auf die Berücksichtigung von Unsicherheiten erweitert werden.
PD Dr. Jens Habermann
Dr. Andreas Herán
Ziel des Teilprojekts ist die Untersuchung und Entwicklung von Stabilitätsresultaten für instationäre Strömungen in Gasnetzen. Dabei wird die Strömung durch die isothermen Euler-Gleichungen im reibungsdominierten Modell (ISO3) beschrieben. Diese bilden ein System nichtlinearer parabolischer Differentialgleichungen, welche nach einer Transformation in eine doppelt-nichtlineare degeneriert parabolische Differentialgleichung übergehen. Der Fokus der Untersuchungen soll auf der Abhängigkeit der (schwachen) Lösung dieser Gleichung im parabolischen Sobolev-Kontext von den auftretenden Nichtlinearitäten und Strukturparametern sowie den Anfangs- und Randdaten liegen. Im Hinblick auf das ISO-3-Modell geben die Untersuchungen unter anderem Aufschluss über die Stabilität der Lösung bzgl. Variation der Reibungsparameter sowie der Physik des modellierten Gases (ideales, reales Gas).
Prof. Dr. Tobias Breiten
Philipp Schulze
Im Kurzprojekt "Strukturierte Kopplung von Feedbacksteuerung und Zustandsschätzung für port-Hamiltonsche Systeme", haben wir uns mit der Struktur von optimalen LQG Reglern für lineare port-Hamiltonsche Systeme beschäftigt. Im Fall gewöhnlicher Differentialgleichungen haben wir eine spezielle Wahl der Gewichtungsmatrizen in den Kostenfunktionalen untersucht. Diese vermeintlich einschränkende strukturelle Wahl der Kostenparameter lässt sich als Kombination eines LQ-Reglers und einer einfachen Ausgangsrückführung interpretieren. Weiterhin haben wir uns mit pH-strukturerhaltenden Modellreduktionsmethoden (basierend auf Balancierung) beschäftigt. Im Hinblick auf unsere nachgewiesenen Fehlerschranken haben wir eine optimierte Wahl des Hamiltonians gefunden. Mit Blick auf Netzwerke von pH-Systemen studieren wir derzeit passende Verallgemeinerungen für differential-algebraische Gleichungen. Hier konnten wir u.a. eine spezielle Charakterisierung für pH-DAEs mit Hilfe von linearen Matrixungleichungen angeben - diese erweitern die bekannte Kalman-Yakubovich-Popov (KYP) Ungleichung.
