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Abstract

Ziel des Projektes ist die Konstruktion und Analyse numerische Verfahren für singulär gestörte hyperbolische Probleme mit parabolischen Grenzverhalten. Probleme dieser Art kommen in vielfältigen Anwendungen vor, z.B. bei kompressiblen Strömungen, in den Flachwassergleichungen, bei der Ausbreitung von akustischen oder elektromagnetischen Wellen und auch in allgemeineneren Transportprozessen.
Im Rahmen des TRR 154 liegt der Schwerpunkt der Betrachtungen auf Systemen von Bilanzgleichungen mit steifer Relaxierung, welche aus der Modellierung des Gastransportes in einzelnen Rohren herrühren. Zur systematischen numerischen Approximation solcher Gleichungen nahe am parabolischen Limes sollen Galerkin Verfahren hoher Ordnung untersucht werden. Von essentieller Bedeutung ist dabei die asymptotische Stabilität der Verfahren, d.h., die vorgeschlagenen Methoden müssen in der Lage sein sowohl das hyperbolische Problem als auch das parabolische Grenzproblem stabil zu approximieren. Zusätzlich sollen elementare physikalischen Eigenschaften, wie die Massenerhaltung oder die Energiedissipativität, auch auf dem diskreten Level so weit als möglich erhalten werden. 
In diesem Projekt werden ale Methoden gemischte und hybride Finite Elemente Verfahren mit stetigen und unstetigen Ansätzen untersucht. Spezielle Fragestellungen, die im Teilprojekt behandelt werden, sind dabei:
  • die systematische Konstruktion hierarchischer Methoden beliebiger Ordnung für einzelne Rohre und kleine Rohrnetzwerke.
  • die a-priori und a-posteriori Fehlerschätzung mit besonderem Augenmerk auf dem parabolischen Grenzverhalten.
  • Aspekte der effizienten numerischen Umsetzung, etwa der schnellen Assbemblierung bei Methoden hoher Ordnung, der statischen Kondensation oder auch die Verwendung von Prädiktor-Korrektor Strategien für die effiziente Zeitintegration.
  • die Verwendung der hierarchischen Struktur zu Zwecken der Modellreduktion.
  • die exakte Berechnung von Sensitivitäten und Lösungen zu adjungierten Problemen auf dem diskreten Level, welche z.B. für die Fehlerschätzung oder bei der Behandlung von Optimierungsaufgaben benötigt werden.
  • die Kalibrierung der Simulationsmodelle an unabhängige Simulationen und reale Messdaten mit Methoden der Parameteridentifikation.
Zur Behandlung alle dieser Aspekte spielt die durchgehende Verwendung eine Galerkin Strategie zur Diskretisierung eine wesentliche Rolle. Die entwickelten Methoden sollen darüber hinaus auch als Bausteine für die Simulation und Optimierung größerer Netzwerke verwendet werden. Die asymptotische Stabilität und diskrete Energiedissipativität der Verfahren wird dabei helfen, das transiente Verhalten eines Netzwerkes bei plötzlichen Lastwechseln korrekt und effizient abzubilden. 
 
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu C04 ist hier zu finden.